EJEMPLOS

EJERCICIOS

Hallar la ecuación de una hipérbolasabiendo que su centro es O=(1,2), un vértice es V₂=(5,2) y un foco F₂=(6,2).

Los parámetros serán:

• Semieje real: a=5-1=4.
• Semidistancia focal: c=6-1=5.
• Dado que:
  
  
  el semieje imaginario es:
  
  

Aplicando estos valores a la ecuación de la hipérbola, tendremos:

Hipérbola de centro O=(1,-2), semieje real a=3 y semieje imaginario b=4.

Hipérbola de centro O=(0,0), semieje real a=1 y semieje imaginario b=3.

FORMULA

Elementos de la hipérbola

Los elementos de la hipérbola son:

• Focos: son los dos puntos fijos (F₁ y F₂).
• Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.
• Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.
• Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
• Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.
• Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V₁ y V₂).

                                                              

• Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota como F₁F₂.
• Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.
• Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B₁ y B₂. Los puntos B₁ y B₂ se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.
  Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal:

PARA QUE SIRVE UNA HIPERBOLA

Aplicaciones

Las hipérbolas tienes un uso practico en el campo de la óptica y de la astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas. También son importantes en la construcción de puentes, aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

QUE ES HIPERBOLA?

HIPERBOLA

A instancias de la Geometría, la hipérbola es aquella curva plana y simétrica respecto de dos planos perpendiculares entre sí, mientras que la distancia en relación a dos puntos o focos resulta constante.

O sea, la hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas que se podrá obtener al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje que impone simetría; y con un ángulo más pequeño que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Cabe destacar que se trata del lugar geométrico de los puntos de un plano, siendo el valor absoluto de sus distancias a dos puntos fijos, los focos, igual a la distancia entre los vértices, la cual resulta ser una constante positiva.

En tanto, la palabra hipérbola tiene su origen en el término griego hipérbole, aquella figura literaria que implica exageración en cuanto a lo hablado o comentado.

Como consecuencia de la inclinación del corte, el plano de la hipérbola intersecará a ambas ramas del cono.

Según cuenta la tradición el descubrimiento de las secciones cónicas se le deben al matemático de origen griego Menecmo, más precisamente en el estudio que llevó a cabo del problema de la duplicación del cubo demostró la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, hecho que tiempo después sería demostrado también por Eratóstenes y por Proclo.

De todos modos, sería después de lo expuesto que el término hipérbola como tal sería empleado; Apolonio de Perge en su tratado Cónicas fue el primero en emplearlo. La mencionada obra está considerada como una obra cumbre en el area de matemáticas griegas antiguas.